GabrielNote

数学貫太郎ノート 2019/01/19

今日は整数問題のようです。

千葉大　整数問題　高校数学

問題：　証明せよ

(1) $2x^2-y^2=9$

　を満たす整数 $x$ , $y$ は3の倍数である

(2) $21x^2-10y^2=9$ を満たす整数 $x$ , $y$ は存在しない。

解答：

(1) 一般的に整数 $n$ は、3の倍数を基準に考えると、3の倍数か、3で割ってあまり1または余り2で表される。余り2は余り-1と同じなので、

$n=3l, 3l\pm 1$

という形で全ての自然数を表すことが出来る。

問題の式は平方数(2乗の形)をした項が存在する。上式を2乗してみると、

$(3l)^2=9l^2=3(3l^2)$

$(3l\pm 1)^2=9l^2\pm 6l+1=3(3l^2\pm 2l)+1$

となるので、全ての自然数の平方数は3の倍数か、3の倍数プラス1の形になる。

$y^2=3M, 3M+1$

もちろん、 $y=3$ であれば、 $y^2=3M$ の形しかありえない。

ここで、問題の式の $y^2$ が3の倍数でない形、つまり $y^2=3M+1$ の形だった場合、

$2x^2-(3M+1)=9$

$2x^2=3M+1+9$

$2x^2=3(M+3)+1$

ここで、左辺の $x^2$ が3の倍数だった場合、 $x^2=3N$ とすると、

左辺は3の倍数なのに対して右辺は3の倍数+1の形になるため、矛盾する。

$x^2=3N+1$ の場合、左辺は $6N+2=3(2N)+2$ の形になり、3の倍数+2の形のためこれまた矛盾する。

では、 $y^2=3M$ の形の場合。

$2x^2=3M+9$

$2x^2=3(M+3)$

となり、右辺は3の倍数。

ここで $x^2=3N+1$ の形だと、やはり先ほどと同様左辺は3の倍数+2の形のため矛盾する。 $x^2=3N$ であれば、両辺とも3の倍数のため成立する。

従って、 $x,y$ いずれも3の倍数でなければこの式は成立しない。

(2) こちらも同じような問題。式変形すると、

$21x^2-9=10y^2$

$3(7x^2-3)=10y^2$

となるので、左辺は3の倍数。 $y^2=3M$ とすると、 $y$ も3の倍数となるので、 $y=3m$ のとすると、 $y^2=9m^2$ となる。よって、

$3(7x^2-3)=90m^2$

$7x^2-3=30m^2$

$7x^2=3(10m^2+1)$

となり、この右辺は3の倍数。となると、左辺も3の倍数でなければ成立しないので、 $x^2=3N$ の形となるはず。 $x=3n$ とすると、 $x^2=9n^2$ となるので、

$63n^2=3(10m^2+1)$

$21n^2=10m^2+1$

$21n^2=10m^2+1$

ここで、左辺は3の倍数。 $m^2$ は平方数なので、 $m^2=3M,3M+1$ の形しかありえない。 $m^2=3M$ すると、右辺は、

$10m^2+1=30M+1$

となり、これは3の倍数ではないので不成立。 $m^2=3M+1$ すると、

$10m^2+1=10(3M+1)+1=30M+11=3(10M+3)+2$

となり、これもまた3の倍数ではないので不成立。よって、これを成立する $n,m$ は存在しない、つまり $x,y$ は存在しないことが証明できた。

今日からセンター試験なのか。大変そう。