GabrielNote

数学貫太郎ノート 2019/01/23

数学鈴木貫太郎ノート

本日も数検準一級の極限値に関する問題のようです。

数検準１級　極限値高校数学

問題：

① $\displaystyle \lim_{x→0} \frac{xsinx}{1-cos3x}$

② $\displaystyle \lim_{x→0} \frac{sinx(2sinx)}{3x}$

③ $\displaystyle \lim_{x→2} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}$

解答：

①こういう問題には下記の公式を使うのがセオリーのようです。

$\displaystyle \lim_{x→0} \frac{sinx}{x}=1$

動画ではなぜこの公式になるのかのイメージについても分かりやすく紹介されていました。ついでに、なぜ弧度法を使っているのかについても。

というわけで上式の形に持っていくのを目指す、と。

$\displaystyle \lim_{x→0} \frac{x sinx}{1-cos3x} \frac{1+cos3x}{1+cos3x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{x sinx(1+cos3x)}{1-cos^2 3x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{x sinx(1+cos3x)}{sin^2 3x}$

ここで、分子のコサインは極限をとると1になるので、いったん気にしなくてOK。さきほどの公式を分母分子逆にした $\displaystyle \lim_{x→0} \frac{x}{sinx}$ も1になることを利用するとして、分母分子にそれぞれ3をかけると、

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{3x sinx(1+cos3x}{3sin^2 3x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{sinx(1+cos3x}{3sin 3x}$

となり少し簡単になる。そして分母分子に今度は $3x$ をかけると、

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{3xsinx(1+cos3x}{9xsin 3x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{sinx(1+cos3x}{9x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{1+cos3x}{9}$

となる。 $cosx$ の極限値は1なので、

$\displaystyle =\frac{1+1}{9}=\frac{2}{9}$

となりこれが答え。

②同じように考えると、とにかく例の公式の形に持っていきたい。この場合、 $2sinx$ が分母にもほしい。というわけで、

$\displaystyle \lim_{x→0} \frac{sinx(2sinx)}{3x} \frac{2sinx}{2sinx}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{2sinx}{3x}=\frac{2}{3}$

となりこれが答え。とても簡単に感じる。

③これは $sinx$ が式中に無いので、和と差の積をしてみてどうなるかを見ていく。

$\displaystyle \lim_{x→2} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2} \frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2}$

$\displaystyle =\lim_{x→2} \frac{(2-x)(\sqrt{x+2}+2)}{x+2-4}$

$\displaystyle =\lim_{x→2} \frac{-(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}$

$\displaystyle =\lim_{x→2} -\sqrt{x+2}-2$

となり、とても簡単な形に。ということで答えは、

$\displaystyle =-\sqrt{4}-2=-4$

となる。

慣れれば簡単。だけど、何となくもやっとするのが極限値の問題。