GabrielNote

数学貫太郎ノート 2019/01/18

数学鈴木貫太郎ノート

昨日分を先ほど投稿したばかりなのですが、勢いで本日の鈴木貫太郎さんの動画もノートさせていただきます。勢い大事。

共通一次　三角関数　数学

問題：

(1) $\displaystyle sin\theta +cos\theta=sin\theta cos\theta$ のとき、

$\displaystyle sin\theta cos\theta=\square\sqrt{\square}+\square$

の形で表せ。

(2) $\displaystyle f(x)=cos^2 x-\sqrt{5}sinx-3$

　　の最大値とそのときの $x$ の値 $(0\leqq x\leqq 2\pi)$

解答：

(1) ここは $sin^2+cos^2=1$ が使えそう。

　ということで、まず両辺を2乗してみる。

$\displaystyle sin^2 \theta +2sin\theta cos\theta +cos^2 \theta=sin^2 \theta cos^2 \theta$

$\displaystyle 1+2sin\theta cos\theta=sin^2 \theta cos^2 \theta$

ほしい答えは $sin\theta cos\theta$ なので、ここで $sin\theta cos\theta=t$ とおくと、

$\displaystyle 1+2t=t^2$

$\displaystyle t^2-2t-1=0$

これを平方完成（こんな言葉忘れてたよ・・・）で表す。

$\displaystyle (t-1)^2-2=0$

$\displaystyle t-1=\pm \sqrt{2}$

$\displaystyle t=1\pm \sqrt{2}$

一見これで終了のようだけど、ここで答えを吟味する。

$t=sin\theta cos\theta$ としていたが、 $sin\theta$ も $cos\theta$ も絶対値は1以下なので、 $t$ は $-1\leqq t\leqq1$ の範囲でしか値を取らない。 $t=1+\sqrt{2}$ は2を超えるので、ありえない値となる。

よって、

$\displaystyle t=1-\sqrt{2}$

が唯一の答え。

(2) ここでも、 $sin^2+cos^2=1$ が使えそう。

$\displaystyle f(x)=cos^2 x-\sqrt{5}sinx-3$

$\displaystyle f(x)=1-sin^2 x-\sqrt{5}sinx-3$

このように $sin$ に統一できるので、 $sinx=t$ とおくと、

$\displaystyle g(t)=-t^2-\sqrt{5}t-2$

ここでも平方完成する。

$\displaystyle g(t)=-(t-\frac{\sqrt{5}}{2})^2+\frac{5}{4}-2$

$\displaystyle =-(t-\frac{\sqrt{5}}{2})^2-\frac{3}{4}$

このグラフの最大値を考える。 $sinx=t$ としているので、 $t$ は $-1\leqq t\leqq1$ の範囲となる。

$t=-1$ のとき、 $\displaystyle g(-1)=-3+\sqrt{5}$

$t=1$ のとき、 $\displaystyle g(1)=-3-\sqrt{5}$

よって、 $t=-1$ のときがこの関数の最大値。

$sin(x)=-1$ のときが関数の最大値なので、

$\displaystyle x=\frac{3}{2}\pi$

となる。

(2)の終盤はちょっと鈴木貫太郎さんの説明に追いつけなくなって我流になりましたすいませんでした。