GabrielNote

数学貫太郎ノート 2019/01/20

数学鈴木貫太郎ノート

本日の鈴木貫太郎さん。ちょっと難しそう。

東工大　積分　放物線と直線　面積最小値　高校数学

問題： $y=-2x^2+x+1$ 上の1点における接線と $y=x^2$ とによって囲まれる部分の面積の最小値を求めよ。

問題の解釈が難しいので、ここでいきなりWolfram Alpha *1に頼ってグラフを描いてみる。

その結果はこちら。

f:id:isobe_gab:20190120204900p:plain

グラフを眺めていると、なんとなく問題の意図が見えてくるような気がする。

動画の鈴木貫太郎さんによると、ここでは"6分の1公式"というものが使えるとのこと。初めて聞いた。ググってみると、他のサイトでも紹介されていたので比較的有名のよう。直線と放物線で囲まれた範囲の面積を求める公式のようです。証明は動画に委ねるとします。

6分の1公式

直線 $y=px+q$ と放物線 $y=ax^2+bx+c$ で囲まれた範囲の面積：

直線と放物線の交点のx座標を $α,β (α＜β)$ とすると、

$\displaystyle \frac{(β-α)^3}{6}$

つまりこの公式を使えば、 $y=-2x^2+x+1$ 上の1点における接線と $y=x^2$ の交点の $x$ 座標 $α,β$ を求めれば、囲まれた範囲の面積を求めることが出来る。

接線の $x$ 座標を $t$ とおくと、 $y$ 座標は $-2t^2+t+1$ 、曲線yを微分すると $y'=-4x+1$ となる。 $y'$ は接線の傾き。

点 $(a,b)$ を通り、傾きがmの直線は

$y-b=m(x-a)$ と表せるので、今回の接線は、

$y-(-2t^2+t+1)=y'(x-t)$

$y=(-4t+1)(x-t)-2t^2+t+1$

$y=(-4t+1)x+2t^2+1$

となる。放物線 $y=x^2$ から上式を引くと、

$x^2+(4t-1)x-2t^2-1=0$

となり、この２解が6分の1公式でほしい $α,β$ となるはず。が、動画にある通りここで少しテクニックを使う。上式の解が $α,β$ であれば、 $(x-α)(x-β)=0$ の形にできるので、分解して $x^2-(α+β)x+αβ=0$ より、

$α+β=-(4t-1)$

$αβ=-2t^2-1$

と表せる。6分の1公式を見ると $(β-α)^3$ の形がある。これを変形して、

$\displaystyle (β-α)^2)^{\frac{3}{2}}$

と表しておく。 $(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ$ であるので、

$(β-α)^2=(4t-1)^2+4(2t^2+1)$

$=16t^2-8t+1+8t^2+4$

$=24t^2-8t+5$

$=24(t^2-\frac{1}{3} t+5$

$=24(t-\frac{1}{6})^2-\frac{2}{3}+5$

この式の最小値を考えると、 $t=\frac{1}{6}$ のときに左の項が0となり、最小値 $frac{13}{3}$ が得られる。よって、6分の1公式に当てはめると、

$\displaystyle frac{(β-α)^3}{6}=\frac{1}{6} (\frac{13}{3})^{\frac{3}{2}}$

これが面積の最小値となる。

1967年の東工大の問題だそうだけど、こんな難しいの受験で出たら解ける気しない笑。

*1:Mathematicaを作っているWolfram Researchによる数学Webアプリ。便利なので、別の機会にこのブログでも紹介したい