GabrielNote

数学貫太郎ノート 2019/01/21

数学鈴木貫太郎ノート

本日は数検準1級の問題だそうです。

数検準１級　三項間漸化式　極限　高校数学

問題：

① $A ≠ 0 a_{1}=1, a_{2}=2A$

　 $a_{n+2}=2Aa_{n+1}-A^2a_{n}$

　一般項を求めよ。

解答：

①これは三項間漸化式というものらしい。つまり、次の項が前の二つの項と関係する数列の関係を示したもの、かな。フィボナッチ数列なんかはまさにこれか(1,1,2,3,5,8,13・・・)。

で、これを特には特性方程式というものを利用すればよいみたい。それが下式。

$x^2-2A+A^2=0$

つまり、３項間漸化式の各項を２次関数の係数としたもの。これを解くと、

$(x-A)^2=0$ , $x=A$

となり、 $x$ は重解となっている。特性方程式の解が $p,q$ のとき、三項間漸化式は、

$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_{n})$

となるが、今回は $p=q=A$ なので、漸化式は下記のように表せる。

$a_{n+2}-Aa_{n+1}=A(a_{n+1}-Aa_{n})$

この右辺の括弧内に初期条件を当てはめると、

$a_{2}-Aa_{1}=2A-A=A$

となるので、初項は $A$ 。項比は右辺にかかっているAなので、

$A(a_{n+1}-Aa_{n})=AA^{n-1}=A^n$

となる。よって、

$a_{n+1}=Aa_{n}+A^n$

これをすべて $A^{n+1}$ で割り、 $\frac{a_{n}}{A^n}=b_{n}$ とおくと、

$b_{n+1}=b_{n}+\frac{1}{A}$

となる。これは項差が $\frac{1}{A}$ の等差数列となっている。初項 $b_{1}=\frac{1}{A}$ なので、

$b_{n}=\frac{1}{A}+\frac{1}{A} (n-1)=\frac{1}{A} n$

となる。よって、

$\frac{a_{n}}{A^n}=\frac{1}{A} n$

$a_{n}=A^{n-1} n$

となり、これが答え。

時間がないので②は省略m(. .)m