GabrielNote

数学貫太郎ノート 2019/01/16

数学鈴木貫太郎ノート

今朝も鈴木貫太郎さんの動画が投稿されていたので、暇なのでノートを取ってみる。

信州大三角関数高校数学

問題：

$0＜α＜β＜2π$

すべての実数xについて、

$cosx+cos(x+α)+cos(x+β)=0$

が成立するような $α$ と $β$ の値を求めよ．

解法

すべての実数について成立しないといけないので、 $x$ に0とか $\frac{π}{2}$ とかを当てはめてみて必要条件を探す、というように攻める。

しかし、上記の数式のままでは分かりにくい。

$cos(x+?)$ の形をした数式があるので、とりあえず加法定理を適用してみる。

※加法定理

$sin(A\pm B)=sinAcosB\pm cosAsinB$

$cos(A\pm B)=cosAcosB\mp sinAsinB$

$tan(A\pm B)=\frac{tanA\pm tanB}{1\mp tanAtanB}$

適用すると、

$cosx+cos(x+α)+cos(x+β)$

$=cosx+cosxcosα-sinxsinα+cosxcosβ-sinxsinβ$

$=cosx(1+cosα+cosβ)-sinx(sinα+sinβ)=0$

ということで $cos$ の項と $sin$ の項に綺麗に分かれた。

この式が成立するのには、いずれの項も0となればよいので、

① $1+cosα+cosβ=0$
② $sinα+sinβ=0$

が十分条件となる。 $x$ に0とか $\frac{π}{2}$ とかを当てはめてみても条件として成立することが確認できる。この二つの式を連立方程式として解けば、答えにたどりつけそう。

ここで $cos^2A+sin^2A=1$ という公式が使えそう。これを適用するため、二つの式をそれぞれ2乗してみる。①式は左辺の1を右辺に移行して両辺を２乗、②の式はそのまま両辺を２乗すると、

①' $cos^2α+2cosαcosβ+cos^2β=1$

②' $sin^2α+2sinαsinβ+sin^2β=0$

そしてこの２式を足すと、

$cos^2α+sin^2α+2cosαcosβ+2sinαsinβ+cos^2β+sin^2β=1$

$2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1$

$cosαcosβ+sinαsinβ=-\frac{1}{2}$

左辺は $cos$ の加法定理の形になっているので、

$cos(α-β)=-\frac{1}{2}$

最初の条件で $α＜β$ となっていたので、あえて

$cos(β-α)=-\frac{1}{2}$

としておく。

$cosx=-\frac{1}{2}$ ということは、斜辺の長さ1,底辺が $\frac{1}{2}$ となる角度なので、

③ $β-α=\frac{2}{3}π, \frac{4}{3}π$

となる。

一方で、①、②式を別の式変形してみると、

①'' $cosα=-1-cosβ$
②'' $sinα=-sinβ$

これを改めて $cos^2A+sin^2A=1$ の形に代入してみる。

$(-1-cosβ)^2+(-sinβ)^2=1$

$1+2cosβ+cos^2 β+sin^2 β=1$

$1+2cosβ+1=1$

$cosβ=-\frac{1}{2}$

よって、さきほどと同じで、

④ $β=\frac{2}{3}π,\frac{4}{3}π$

となる。

③と④から、

$β=\frac{2}{3}π$ の場合、

$\frac{2}{3}π-α= \frac{2}{3}π, \frac{4}{3}π$

$α=0, -\frac{2}{3} π$

となってしまい、最初の条件 $0＜α＜β＜2π$ と不一致のため成立しない。

$β=\frac{4}{3}π$ の場合、

$\frac{4}{3}π-α=\frac{2}{3}π, \frac{4}{3}π$

$α=\frac{2}{3}π, 0$

となる。最初の条件から $α=0$ はありえない。

よって答えは、

$α=\frac{2}{3}π, β=\frac{4}{3}π$

となる。

あー結構時間かかった。