数学 貫太郎ノート 2019/01/16
今朝も鈴木貫太郎さんの動画が投稿されていたので、暇なのでノートを取ってみる。
問題:
すべての実数xについて、
が成立するようなとの値を求めよ.
- 解法
すべての実数について成立しないといけないので、に0とかとかを当てはめてみて必要条件を探す、というように攻める。
しかし、上記の数式のままでは分かりにくい。
の形をした数式があるので、とりあえず加法定理を適用してみる。
※加法定理
適用すると、
ということでの項との項に綺麗に分かれた。
この式が成立するのには、いずれの項も0となればよいので、
①
②
が十分条件となる。に0とかとかを当てはめてみても条件として成立することが確認できる。この二つの式を連立方程式として解けば、答えにたどりつけそう。
ここでという 公式が使えそう。これを適用するため、二つの式をそれぞれ2乗してみる。①式は左辺の1を右辺に移行して両辺を2乗、②の式はそのまま両辺を2乗すると、
①'
②'
そしてこの2式を足すと、
左辺はの加法定理の形になっているので、
最初の条件でとなっていたので、あえて
としておく。
ということは、斜辺の長さ1,底辺がとなる角度なので、
③
となる。
一方で、①、②式を別の式変形してみると、
①''
②''
これを改めての形に代入してみる。
よって、さきほどと同じで、
④
となる。
③と④から、
の場合、
となってしまい、最初の条件と不一致のため成立しない。
の場合、
となる。最初の条件から はありえない。
よって答えは、
となる。
あー結構時間かかった。