2019-01-23

数学貫太郎ノート 2019/01/23

数学鈴木貫太郎ノート

本日も数検準一級の極限値に関する問題のようです。

数検準１級　極限値高校数学

問題：

① $\displaystyle \lim_{x→0} \frac{xsinx}{1-cos3x}$

② $\displaystyle \lim_{x→0} \frac{sinx(2sinx)}{3x}$

③ $\displaystyle \lim_{x→2} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2}$

解答：

①こういう問題には下記の公式を使うのがセオリーのようです。

$\displaystyle \lim_{x→0} \frac{sinx}{x}=1$

動画ではなぜこの公式になるのかのイメージについても分かりやすく紹介されていました。ついでに、なぜ弧度法を使っているのかについても。

というわけで上式の形に持っていくのを目指す、と。

$\displaystyle \lim_{x→0} \frac{x sinx}{1-cos3x} \frac{1+cos3x}{1+cos3x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{x sinx(1+cos3x)}{1-cos^2 3x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{x sinx(1+cos3x)}{sin^2 3x}$

ここで、分子のコサインは極限をとると1になるので、いったん気にしなくてOK。さきほどの公式を分母分子逆にした $\displaystyle \lim_{x→0} \frac{x}{sinx}$ も1になることを利用するとして、分母分子にそれぞれ3をかけると、

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{3x sinx(1+cos3x}{3sin^2 3x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{sinx(1+cos3x}{3sin 3x}$

となり少し簡単になる。そして分母分子に今度は $3x$ をかけると、

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{3xsinx(1+cos3x}{9xsin 3x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{sinx(1+cos3x}{9x}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{1+cos3x}{9}$

となる。 $cosx$ の極限値は1なので、

$\displaystyle =\frac{1+1}{9}=\frac{2}{9}$

となりこれが答え。

②同じように考えると、とにかく例の公式の形に持っていきたい。この場合、 $2sinx$ が分母にもほしい。というわけで、

$\displaystyle \lim_{x→0} \frac{sinx(2sinx)}{3x} \frac{2sinx}{2sinx}$

$\displaystyle =\lim_{x→0} \frac{2sinx}{3x}=\frac{2}{3}$

となりこれが答え。とても簡単に感じる。

③これは $sinx$ が式中に無いので、和と差の積をしてみてどうなるかを見ていく。

$\displaystyle \lim_{x→2} \frac{2-x}{\sqrt{x+2}-2} \frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2}$

$\displaystyle =\lim_{x→2} \frac{(2-x)(\sqrt{x+2}+2)}{x+2-4}$

$\displaystyle =\lim_{x→2} \frac{-(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}$

$\displaystyle =\lim_{x→2} -\sqrt{x+2}-2$

となり、とても簡単な形に。ということで答えは、

$\displaystyle =-\sqrt{4}-2=-4$

となる。

慣れれば簡単。だけど、何となくもやっとするのが極限値の問題。

2019-01-22

数学貫太郎ノート 2019/01/22

数学鈴木貫太郎ノート

本日は漸化式の問題。

長崎大(医) 漸化式高校数学

問題：

$a_{1}=1$

$na_{n+1}-(n+1)a_{n}=1$

解答：

$a_{n+1}$ の係数が $n$ で、 $a_{n}$ の係数が $n+1$ なので、ここを逆にしたい。まずは $n(n+1)$ で両辺を割ってあげる。

$\displaystyle \frac{na_{n+1}}{n(n+1)}-\frac{(n+1)a_{n}}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$

$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}-\frac{a_{n}}{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

この $\frac{a_{n}}{n}$ を $b_{n}$ とおくと、

$b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

となる。左辺の形から、これは階差数列（習った気がするけど完全に忘れてたのでwikipediaをナナメ読み）。

ということで、階差数列なので $n≧2$ で定義すると、

$b_{n}=b_{1}+\sum_{k=1}^{n-1} k=\frac{1}{k(k+1)}$

となる。このシグマの部分を部分分数分解していけば答えが見えてくる。

$= 1+ \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{(n-1)n}$

$= 1+ \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdot \cdot \cdot -\frac{1}{n}$

というわけで間の項がごっそり消えて、

$b_{n}=2-\frac{1}{n}$

よって、

$\frac{a_{n}}{n}=2-\frac{1}{n}$

$a_{n}=2n-1$

が答えとなる。

前半の、 $n$ だけで表される項を作るのがポイントなのね。

2019-01-21

数学貫太郎ノート 2019/01/21

数学鈴木貫太郎ノート

本日は数検準1級の問題だそうです。

数検準１級　三項間漸化式　極限　高校数学

問題：

① $A ≠ 0 a_{1}=1, a_{2}=2A$

　 $a_{n+2}=2Aa_{n+1}-A^2a_{n}$

　一般項を求めよ。

解答：

①これは三項間漸化式というものらしい。つまり、次の項が前の二つの項と関係する数列の関係を示したもの、かな。フィボナッチ数列なんかはまさにこれか(1,1,2,3,5,8,13・・・)。

で、これを特には特性方程式というものを利用すればよいみたい。それが下式。

$x^2-2A+A^2=0$

つまり、３項間漸化式の各項を２次関数の係数としたもの。これを解くと、

$(x-A)^2=0$ , $x=A$

となり、 $x$ は重解となっている。特性方程式の解が $p,q$ のとき、三項間漸化式は、

$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_{n})$

となるが、今回は $p=q=A$ なので、漸化式は下記のように表せる。

$a_{n+2}-Aa_{n+1}=A(a_{n+1}-Aa_{n})$

この右辺の括弧内に初期条件を当てはめると、

$a_{2}-Aa_{1}=2A-A=A$

となるので、初項は $A$ 。項比は右辺にかかっているAなので、

$A(a_{n+1}-Aa_{n})=AA^{n-1}=A^n$

となる。よって、

$a_{n+1}=Aa_{n}+A^n$

これをすべて $A^{n+1}$ で割り、 $\frac{a_{n}}{A^n}=b_{n}$ とおくと、

$b_{n+1}=b_{n}+\frac{1}{A}$

となる。これは項差が $\frac{1}{A}$ の等差数列となっている。初項 $b_{1}=\frac{1}{A}$ なので、

$b_{n}=\frac{1}{A}+\frac{1}{A} (n-1)=\frac{1}{A} n$

となる。よって、

$\frac{a_{n}}{A^n}=\frac{1}{A} n$

$a_{n}=A^{n-1} n$

となり、これが答え。

時間がないので②は省略m(. .)m

2019-01-20

数学貫太郎ノート 2019/01/20

数学鈴木貫太郎ノート

本日の鈴木貫太郎さん。ちょっと難しそう。

東工大　積分　放物線と直線　面積最小値　高校数学

問題： $y=-2x^2+x+1$ 上の1点における接線と $y=x^2$ とによって囲まれる部分の面積の最小値を求めよ。

問題の解釈が難しいので、ここでいきなりWolfram Alpha *1に頼ってグラフを描いてみる。

その結果はこちら。

f:id:isobe_gab:20190120204900p:plain

グラフを眺めていると、なんとなく問題の意図が見えてくるような気がする。

動画の鈴木貫太郎さんによると、ここでは"6分の1公式"というものが使えるとのこと。初めて聞いた。ググってみると、他のサイトでも紹介されていたので比較的有名のよう。直線と放物線で囲まれた範囲の面積を求める公式のようです。証明は動画に委ねるとします。

6分の1公式

直線 $y=px+q$ と放物線 $y=ax^2+bx+c$ で囲まれた範囲の面積：

直線と放物線の交点のx座標を $α,β (α＜β)$ とすると、

$\displaystyle \frac{(β-α)^3}{6}$

つまりこの公式を使えば、 $y=-2x^2+x+1$ 上の1点における接線と $y=x^2$ の交点の $x$ 座標 $α,β$ を求めれば、囲まれた範囲の面積を求めることが出来る。

接線の $x$ 座標を $t$ とおくと、 $y$ 座標は $-2t^2+t+1$ 、曲線yを微分すると $y'=-4x+1$ となる。 $y'$ は接線の傾き。

点 $(a,b)$ を通り、傾きがmの直線は

$y-b=m(x-a)$ と表せるので、今回の接線は、

$y-(-2t^2+t+1)=y'(x-t)$

$y=(-4t+1)(x-t)-2t^2+t+1$

$y=(-4t+1)x+2t^2+1$

となる。放物線 $y=x^2$ から上式を引くと、

$x^2+(4t-1)x-2t^2-1=0$

となり、この２解が6分の1公式でほしい $α,β$ となるはず。が、動画にある通りここで少しテクニックを使う。上式の解が $α,β$ であれば、 $(x-α)(x-β)=0$ の形にできるので、分解して $x^2-(α+β)x+αβ=0$ より、

$α+β=-(4t-1)$

$αβ=-2t^2-1$

と表せる。6分の1公式を見ると $(β-α)^3$ の形がある。これを変形して、

$\displaystyle (β-α)^2)^{\frac{3}{2}}$

と表しておく。 $(β-α)^2=(α+β)^2-4αβ$ であるので、

$(β-α)^2=(4t-1)^2+4(2t^2+1)$

$=16t^2-8t+1+8t^2+4$

$=24t^2-8t+5$

$=24(t^2-\frac{1}{3} t+5$

$=24(t-\frac{1}{6})^2-\frac{2}{3}+5$

この式の最小値を考えると、 $t=\frac{1}{6}$ のときに左の項が0となり、最小値 $frac{13}{3}$ が得られる。よって、6分の1公式に当てはめると、

$\displaystyle frac{(β-α)^3}{6}=\frac{1}{6} (\frac{13}{3})^{\frac{3}{2}}$

これが面積の最小値となる。

1967年の東工大の問題だそうだけど、こんな難しいの受験で出たら解ける気しない笑。

*1:Mathematicaを作っているWolfram Researchによる数学Webアプリ。便利なので、別の機会にこのブログでも紹介したい

2019-01-19

数学貫太郎ノート 2019/01/19

今日は整数問題のようです。

千葉大　整数問題　高校数学

問題：　証明せよ

(1) $2x^2-y^2=9$

　を満たす整数 $x$ , $y$ は3の倍数である

(2) $21x^2-10y^2=9$ を満たす整数 $x$ , $y$ は存在しない。

解答：

(1) 一般的に整数 $n$ は、3の倍数を基準に考えると、3の倍数か、3で割ってあまり1または余り2で表される。余り2は余り-1と同じなので、

$n=3l, 3l\pm 1$

という形で全ての自然数を表すことが出来る。

問題の式は平方数(2乗の形)をした項が存在する。上式を2乗してみると、

$(3l)^2=9l^2=3(3l^2)$

$(3l\pm 1)^2=9l^2\pm 6l+1=3(3l^2\pm 2l)+1$

となるので、全ての自然数の平方数は3の倍数か、3の倍数プラス1の形になる。

$y^2=3M, 3M+1$

もちろん、 $y=3$ であれば、 $y^2=3M$ の形しかありえない。

ここで、問題の式の $y^2$ が3の倍数でない形、つまり $y^2=3M+1$ の形だった場合、

$2x^2-(3M+1)=9$

$2x^2=3M+1+9$

$2x^2=3(M+3)+1$

ここで、左辺の $x^2$ が3の倍数だった場合、 $x^2=3N$ とすると、

左辺は3の倍数なのに対して右辺は3の倍数+1の形になるため、矛盾する。

$x^2=3N+1$ の場合、左辺は $6N+2=3(2N)+2$ の形になり、3の倍数+2の形のためこれまた矛盾する。

では、 $y^2=3M$ の形の場合。

$2x^2=3M+9$

$2x^2=3(M+3)$

となり、右辺は3の倍数。

ここで $x^2=3N+1$ の形だと、やはり先ほどと同様左辺は3の倍数+2の形のため矛盾する。 $x^2=3N$ であれば、両辺とも3の倍数のため成立する。

従って、 $x,y$ いずれも3の倍数でなければこの式は成立しない。

(2) こちらも同じような問題。式変形すると、

$21x^2-9=10y^2$

$3(7x^2-3)=10y^2$

となるので、左辺は3の倍数。 $y^2=3M$ とすると、 $y$ も3の倍数となるので、 $y=3m$ のとすると、 $y^2=9m^2$ となる。よって、

$3(7x^2-3)=90m^2$

$7x^2-3=30m^2$

$7x^2=3(10m^2+1)$

となり、この右辺は3の倍数。となると、左辺も3の倍数でなければ成立しないので、 $x^2=3N$ の形となるはず。 $x=3n$ とすると、 $x^2=9n^2$ となるので、

$63n^2=3(10m^2+1)$

$21n^2=10m^2+1$

ここで、左辺は3の倍数。 $m^2$ は平方数なので、 $m^2=3M,3M+1$ の形しかありえない。 $m^2=3M$ すると、右辺は、

$10m^2+1=30M+1$

となり、これは3の倍数ではないので不成立。 $m^2=3M+1$ すると、

$10m^2+1=10(3M+1)+1=30M+11=3(10M+3)+2$

となり、これもまた3の倍数ではないので不成立。よって、これを成立する $n,m$ は存在しない、つまり $x,y$ は存在しないことが証明できた。

今日からセンター試験なのか。大変そう。

2019-01-18

数学貫太郎ノート 2019/01/18

数学鈴木貫太郎ノート

昨日分を先ほど投稿したばかりなのですが、勢いで本日の鈴木貫太郎さんの動画もノートさせていただきます。勢い大事。

共通一次　三角関数　数学

問題：

(1) $\displaystyle sin\theta +cos\theta=sin\theta cos\theta$ のとき、

$\displaystyle sin\theta cos\theta=\square\sqrt{\square}+\square$

の形で表せ。

(2) $\displaystyle f(x)=cos^2 x-\sqrt{5}sinx-3$

　　の最大値とそのときの $x$ の値 $(0\leqq x\leqq 2\pi)$

解答：

(1) ここは $sin^2+cos^2=1$ が使えそう。

　ということで、まず両辺を2乗してみる。

$\displaystyle sin^2 \theta +2sin\theta cos\theta +cos^2 \theta=sin^2 \theta cos^2 \theta$

$\displaystyle 1+2sin\theta cos\theta=sin^2 \theta cos^2 \theta$

ほしい答えは $sin\theta cos\theta$ なので、ここで $sin\theta cos\theta=t$ とおくと、

$\displaystyle 1+2t=t^2$

$\displaystyle t^2-2t-1=0$

これを平方完成（こんな言葉忘れてたよ・・・）で表す。

$\displaystyle (t-1)^2-2=0$

$\displaystyle t-1=\pm \sqrt{2}$

$\displaystyle t=1\pm \sqrt{2}$

一見これで終了のようだけど、ここで答えを吟味する。

$t=sin\theta cos\theta$ としていたが、 $sin\theta$ も $cos\theta$ も絶対値は1以下なので、 $t$ は $-1\leqq t\leqq1$ の範囲でしか値を取らない。 $t=1+\sqrt{2}$ は2を超えるので、ありえない値となる。

よって、

$\displaystyle t=1-\sqrt{2}$

が唯一の答え。

(2) ここでも、 $sin^2+cos^2=1$ が使えそう。

$\displaystyle f(x)=cos^2 x-\sqrt{5}sinx-3$

$\displaystyle f(x)=1-sin^2 x-\sqrt{5}sinx-3$

このように $sin$ に統一できるので、 $sinx=t$ とおくと、

$\displaystyle g(t)=-t^2-\sqrt{5}t-2$

ここでも平方完成する。

$\displaystyle g(t)=-(t-\frac{\sqrt{5}}{2})^2+\frac{5}{4}-2$

$\displaystyle =-(t-\frac{\sqrt{5}}{2})^2-\frac{3}{4}$

このグラフの最大値を考える。 $sinx=t$ としているので、 $t$ は $-1\leqq t\leqq1$ の範囲となる。

$t=-1$ のとき、 $\displaystyle g(-1)=-3+\sqrt{5}$

$t=1$ のとき、 $\displaystyle g(1)=-3-\sqrt{5}$

よって、 $t=-1$ のときがこの関数の最大値。

$sin(x)=-1$ のときが関数の最大値なので、

$\displaystyle x=\frac{3}{2}\pi$

となる。

(2)の終盤はちょっと鈴木貫太郎さんの説明に追いつけなくなって我流になりましたすいませんでした。

2019-01-18

数学貫太郎ノート 2019/01/17

数学鈴木貫太郎ノート

鈴木貫太郎さんの動画の内容をノートします。(昨日の分。飲み会だったので・・・)

今日は数列の問題ですね。

鹿児島大（医他）数列の和　高校数学

問題：

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{2^k}$

この数列の和を求めよ。

数列の和を求めろとは。長年数学から離れてきたから、上のようなきれいな形で書き表されているものにこれ以上何をしろと言うんだ、と思ってしまった。もしこれがプログラミングだったら、単純に繰り返し文で足し算するところなんだけど。シグマを使わない簡単な形式で書き表せということなんだね。

というわけで、まずはこの式を数列の和の形で書き表す。

$\displaystyle S_{n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+・・・+\frac{2n-1}{2^{n}}$

ここで両辺を $\frac{1}{2}$ 倍してあげると、良いことが起きる。

$\displaystyle \frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+・・・+\frac{2n-1}{2^{n+1}}$

上の二つの式を比べると、分子が異なるが分母が同じ項が存在しているので、引き算してあげれば大幅に簡単に書けるでしょう、ということ（よく思いつくよなこんなこと）。というわけで引き算すると、

$\displaystyle \frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2}+\lgroup \frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+・・・+\frac{2}{2^n} \rgroup-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$

上式の大かっこの中を $T_{n}$ とすると、

$\displaystyle T_{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^{n-1}}$

ここで、先ほどと同じように両辺を2で割って引き算するととてもすっきりした形になる。

$\displaystyle \frac{1}{2}T_{n}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}$

$\displaystyle \frac{1}{2}T_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2^n}$

$\displaystyle T_{n}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$

これを $S_{n}$ の式に戻すと、

$\displaystyle \frac{1}{2}S_{n}=\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2n-1}{2^{n+1}}$

$\displaystyle S_{n}=3-\frac{1}{2^{n-2}}-\frac{2n-1}{2^n}$

これを通分してキレイにすると、

$\displaystyle S_{n}=\frac{3\cdot2^n-4-2n+1}{2^n}$

$\displaystyle S_{n}=\frac{3\cdot2^n-2n-3}{2^n}$

となる。

最初にプログラミングなら繰り返し分で簡単に計算できるのにとか言ったけど、このように定式化出来るなら圧倒的に計算量は少なくて済む。どこかで何かの役に立つかもね。