2019-01-16

数学貫太郎ノート 2019/01/16

数学鈴木貫太郎ノート

今朝も鈴木貫太郎さんの動画が投稿されていたので、暇なのでノートを取ってみる。

信州大三角関数高校数学

問題：

$0＜α＜β＜2π$

すべての実数xについて、

$cosx+cos(x+α)+cos(x+β)=0$

が成立するような $α$ と $β$ の値を求めよ．

解法

すべての実数について成立しないといけないので、 $x$ に0とか $\frac{π}{2}$ とかを当てはめてみて必要条件を探す、というように攻める。

しかし、上記の数式のままでは分かりにくい。

$cos(x+?)$ の形をした数式があるので、とりあえず加法定理を適用してみる。

※加法定理

$sin(A\pm B)=sinAcosB\pm cosAsinB$

$cos(A\pm B)=cosAcosB\mp sinAsinB$

$tan(A\pm B)=\frac{tanA\pm tanB}{1\mp tanAtanB}$

適用すると、

$cosx+cos(x+α)+cos(x+β)$

$=cosx+cosxcosα-sinxsinα+cosxcosβ-sinxsinβ$

$=cosx(1+cosα+cosβ)-sinx(sinα+sinβ)=0$

ということで $cos$ の項と $sin$ の項に綺麗に分かれた。

この式が成立するのには、いずれの項も0となればよいので、

① $1+cosα+cosβ=0$
② $sinα+sinβ=0$

が十分条件となる。 $x$ に0とか $\frac{π}{2}$ とかを当てはめてみても条件として成立することが確認できる。この二つの式を連立方程式として解けば、答えにたどりつけそう。

ここで $cos^2A+sin^2A=1$ という公式が使えそう。これを適用するため、二つの式をそれぞれ2乗してみる。①式は左辺の1を右辺に移行して両辺を２乗、②の式はそのまま両辺を２乗すると、

①' $cos^2α+2cosαcosβ+cos^2β=1$

②' $sin^2α+2sinαsinβ+sin^2β=0$

そしてこの２式を足すと、

$cos^2α+sin^2α+2cosαcosβ+2sinαsinβ+cos^2β+sin^2β=1$

$2+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1$

$cosαcosβ+sinαsinβ=-\frac{1}{2}$

左辺は $cos$ の加法定理の形になっているので、

$cos(α-β)=-\frac{1}{2}$

最初の条件で $α＜β$ となっていたので、あえて

$cos(β-α)=-\frac{1}{2}$

としておく。

$cosx=-\frac{1}{2}$ ということは、斜辺の長さ1,底辺が $\frac{1}{2}$ となる角度なので、

③ $β-α=\frac{2}{3}π, \frac{4}{3}π$

となる。

一方で、①、②式を別の式変形してみると、

①'' $cosα=-1-cosβ$
②'' $sinα=-sinβ$

これを改めて $cos^2A+sin^2A=1$ の形に代入してみる。

$(-1-cosβ)^2+(-sinβ)^2=1$

$1+2cosβ+cos^2 β+sin^2 β=1$

$1+2cosβ+1=1$

$cosβ=-\frac{1}{2}$

よって、さきほどと同じで、

④ $β=\frac{2}{3}π,\frac{4}{3}π$

となる。

③と④から、

$β=\frac{2}{3}π$ の場合、

$\frac{2}{3}π-α= \frac{2}{3}π, \frac{4}{3}π$

$α=0, -\frac{2}{3} π$

となってしまい、最初の条件 $0＜α＜β＜2π$ と不一致のため成立しない。

$β=\frac{4}{3}π$ の場合、

$\frac{4}{3}π-α=\frac{2}{3}π, \frac{4}{3}π$

$α=\frac{2}{3}π, 0$

となる。最初の条件から $α=0$ はありえない。

よって答えは、

$α=\frac{2}{3}π, β=\frac{4}{3}π$

となる。

あー結構時間かかった。

2019-01-15

数学系youtubeが面白い ~0!=1の理由について~

鈴木貫太郎ノート数学

なんとなくwebを漁っていたときにふと目に留まった数学系のyoutube。理系心をくすぐられ、気づけば3時間ほど見入ってしまった。ひとまずご覧ください。

なぜ、０！＝１　０の階乗がなぜ１？

こちらは数学系youtuberの鈴木貫太郎さんによる動画。最初はなんだろうこの一見普通のおじさん(失礼)と思ったが、とても説明がわかりやすくて内容がスッと頭に入ってきた。学生のときにある程度習ったはずが完全に忘我の彼方だった順列( ${}_n \mathrm{P} _k$ )とか組み合わせ( ${}_n \mathrm{C} _k$ )の復習にもなった。

ちょっと復習がてら、そしてブログでの数式の書き方の勉強がてら、動画の内容を腹落ちさせつつノートにまとめておきます。

まず $n!$ について

$n!$ とは、つまり1から整数nまでの数字を順番に掛け算していく、という意味で使われる数学の記号。

$2!$ であれば $2\times1$ 、 $3!$ であれば $3\times2\times1$ という具合に。

よって $n!$ であれば、

$n! =n(n-1)(n-2)\cdot\cdot\cdot2\times1$

と表せる。便利そう、だけど何に使うんだろう・・・となるが、実は例えば順列や組み合わせの計算をするときに使える。

今回の鈴木貫太郎さんの動画は、 $n!$ の $n=0$ の場合についてのお話。通常、 $0!=1$ として定義されるのだけれど、なぜ1なのか。

nからkを選ぶ順列 ${}_n \mathrm{P}_k$ を考える

順列とは、例えば5つの中から３つを順番付きで選ぶ場合の組み合わせが何通りあるか、というもの。この場合、最初の1人は5通り、2人目は4通り、3人目は3通りとなるので、

${}_5 \mathrm{P} _3=5\times4\times3$

となる。実はこれ、階乗を使うとスッキリと表現できる。まず、Pの左側の数字の階乗を考えると、

$5!=5\times4\times3\times2\times1$

ここから、 $2\times1$ の部分を割ることで ${}_5 \mathrm{P}$ が得られるので、

${}_5 \mathrm{P} _3=\frac{5!}{2\times1}$

ここで、この分子は順列 $P$ の左側の数字から右側の数字を引いた値の階乗になっている。よってこれを一般化すると、

${}_n \mathrm{P} _k=\frac{n!}{(n-k)!}$

と表される。

nからkの組み合わせ ${}_n \mathrm{C}_k$ を考える

順列では例えばA,B,C,D,Eの5つからA,B,Cの3つを選ぶとき、{A,B,C}, {A,C,B}, {B,A,C}, {B,C,A}, {C,A,B}, {C,A,B}をすべて別のものとして扱ったが、組み合わせの場合は同じものとして扱う。3つを選ぶときに同じものとして扱えるのは $3!$ と表現できるので、これを順列から除した値が組み合わせとなる。